円の方程式

直線と並ぶ基本図形が「円」である。円は「ある点（中心）からの距離が一定（半径）である点の集まり」なので、2 点間の距離を式にすると円の方程式が得られる。

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原点を中心とする半径 1 の円

円上の点を $P(x,y)$ とすると、点 $P$ は「原点 $O$ からの距離が $1$」を満たす。すなわち

$$\mathrm{OP}=1$$

2 点間の距離の公式より $\mathrm{OP}=\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}$ だから

$$\sqrt{x^2+y^2}=1$$

両辺を 2 乗して

$$\boxed{x^2+y^2=1}$$

逆に、$x^2+y^2=1$ を満たす点 $P(x,y)$ は $\mathrm{OP}=1$ を満たすので円上の点である。したがって、これが求める円の方程式になる。

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点 $A(a,b)$ を中心とする半径 $r$ の円

同じように考える。円上の点を $P(x,y)$ とすると、$P$ は「中心 $A$ からの距離が $r$」を満たす。

$$\mathrm{AP}=r \;\Longleftrightarrow\; \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r \;\Longleftrightarrow\; (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

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円の方程式（標準形と一般形）

点 $A(a,b)$ を中心とする半径 $r\ (r>0)$ の円の方程式は

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

と書ける。この形を円の標準形という。

これを展開すると

$$x^2+y^2-2ax-2by+(a^2+b^2-r^2)=0$$

となり、$l=-2a,\ m=-2b,\ n=a^2+b^2-r^2$ とおけば

$$x^2+y^2+lx+my+n=0$$

の形になる。この形を円の一般形という。

• 標準形 … 中心 $(a,b)$ と半径 $r$ がひと目で分かる。
• 一般形 … 展開した形。中心・半径を知りたいときは平方完成して標準形に戻す。