§7 演習問題 — 直線の方程式

直線 $ax+by+c=0$ の法線ベクトルは $(a,b)$（$a,b,c$ はスカラーの係数）、媒介変数表示 $x=x_0+\alpha t,\ y=y_0+\beta t$ の方向ベクトルは $(\alpha,\beta)$ である。

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1. 平行・直交の必要十分条件

問題 媒介変数 $t$ によって $x=x_0+\alpha t,\ y=y_0+\beta t$ と表される直線と、方程式 $ax+by=c$ で表される直線とが平行（一致する場合も含む）であるための必要十分条件、直交するための必要十分条件を、それぞれ係数 $\alpha,\beta,a,b$ によって表せ。

解答 前者の方向ベクトルは $(\alpha,\beta)$、後者の法線ベクトルは $(a,b)$。

平行（一致を含む）$\iff$ 方向 $(\alpha,\beta)$ が法線 $(a,b)$ に垂直:

$$a\alpha+b\beta=0$$

直交 $\iff$ 方向 $(\alpha,\beta)$ が法線 $(a,b)$ に平行:

$$\alpha b-\beta a=0\qquad(\text{すなわち }\alpha:\beta=a:b)$$

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2. 2直線の交角の余弦

問題 2直線 $3x-2y=5,\ 4x+2y=1$ の交角 $\theta$ の余弦の値を求めよ。

解答 法線ベクトルを $\boldsymbol{n_1}=(3,-2),\ \boldsymbol{n_2}=(4,2)$ とすると

$$\boldsymbol{n_1}\cdot\boldsymbol{n_2}=12-4=8,\qquad |\boldsymbol{n_1}|=\sqrt{13},\qquad |\boldsymbol{n_2}|=2\sqrt{5}$$

交角の余弦は

$$\cos\theta=\frac{|\boldsymbol{n_1}\cdot\boldsymbol{n_2}|}{|\boldsymbol{n_1}||\boldsymbol{n_2}|} =\frac{8}{2\sqrt{65}} =\boxed{\frac{4}{\sqrt{65}}=\frac{4\sqrt{65}}{65}}$$

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3. ベクトル方程式 (1.17) と方程式 (1.23) の一致

問題 $|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|\ne0,\ \boldsymbol{a}\ne\boldsymbol{b}$ のとき、ベクトル方程式 (1.17) $\boldsymbol{x}=t(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$ で表される直線と、方程式 (1.23) $(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{x}=0$ で表される直線とが一致することを、計算によって確かめよ。

解答 (1.17) の $\boldsymbol{x}=t(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$ を (1.23) の左辺に代入すると

$$(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{x} =t\,(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) =t\,(|\boldsymbol{a}|^2-|\boldsymbol{b}|^2)$$

$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|$ より $|\boldsymbol{a}|^2-|\boldsymbol{b}|^2=0$ だから、すべての $t$ で

$$(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{x}=0$$

となり、(1.17) 上の点はすべて (1.23) を満たす。

逆に、$\boldsymbol{a}\ne\boldsymbol{b}$ なので $\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\ne\boldsymbol{0}$、よって (1.23) は原点を通る 1 本の直線を表す。(1.17) も原点を通り方向ベクトル $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ の直線で、その方向は上の計算により (1.23) 上にある。原点を通る直線は 1 つの方向で定まるから、両者は同一の直線である。

$$\therefore\ (1.17)\text{ と }(1.23)\text{ は同じ直線を表す}\qquad\blacksquare$$

核心は $(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=|\boldsymbol{a}|^2-|\boldsymbol{b}|^2$ が $|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|$ のとき $0$ になること。幾何的には「2等分線の方向 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ が法線 $\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$ と直交する」ことを表す。

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4. $\angle AOB$ の2等分線の方程式

問題 一般に $\angle AOB$ の 2 等分線の方程式は

$$\left(\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}-\frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}\right)\cdot\boldsymbol{x}=0$$

で与えられることを示せ。ただし $O$ は座標原点、$\boldsymbol{a}=\overrightarrow{OA},\ \boldsymbol{b}=\overrightarrow{OB}$ である。

解答 単位ベクトルを $\hat{\boldsymbol{a}}=\dfrac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|},\ \hat{\boldsymbol{b}}=\dfrac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}$ とする。点 $\boldsymbol{x}$ が $\angle AOB$ の 2 等分線上にあることは、$\boldsymbol{x}$ が $OA,OB$ と等しい角をなすこと、すなわち

$$\hat{\boldsymbol{a}}\cdot\frac{\boldsymbol{x}}{|\boldsymbol{x}|}=\hat{\boldsymbol{b}}\cdot\frac{\boldsymbol{x}}{|\boldsymbol{x}|}$$

と同値である。分母を払うと $\hat{\boldsymbol{a}}\cdot\boldsymbol{x}=\hat{\boldsymbol{b}}\cdot\boldsymbol{x}$、すなわち

$$(\hat{\boldsymbol{a}}-\hat{\boldsymbol{b}})\cdot\boldsymbol{x}=0 \;\Longleftrightarrow\; \left(\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}-\frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}\right)\cdot\boldsymbol{x}=0 \qquad\blacksquare$$

（2 等分線の方向は $\hat{\boldsymbol{a}}+\hat{\boldsymbol{b}}$ であり、$|\hat{\boldsymbol{a}}|=|\hat{\boldsymbol{b}}|=1$ より $(\hat{\boldsymbol{a}}+\hat{\boldsymbol{b}})\perp(\hat{\boldsymbol{a}}-\hat{\boldsymbol{b}})$。よって $\hat{\boldsymbol{a}}-\hat{\boldsymbol{b}}$ が法線になる。）

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5. $\angle ABC$ の2等分線の方程式

問題 $A(13,7),\ B(1,2),\ C(-2,6)$ のとき、$\angle ABC$ の 2 等分線の方程式を求めよ。

解答 頂点は $B$。問 4 を原点 $O\to B$ に置き換えて用いる。

$$\overrightarrow{BA}=(12,5),\ |\overrightarrow{BA}|=13,\qquad \overrightarrow{BC}=(-3,4),\ |\overrightarrow{BC}|=5$$

法線ベクトルは

$$\frac{\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BA}|}-\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|} =\left(\frac{12}{13}+\frac{3}{5},\ \frac{5}{13}-\frac{4}{5}\right) =\left(\frac{99}{65},\ -\frac{27}{65}\right) \parallel(11,-3)$$

これを法線とし $B(1,2)$ を通る直線は

$$11(x-1)-3(y-2)=0 \;\Longrightarrow\; \boxed{11x-3y=5}$$

（検算: $B(1,2)$ で $11-6=5$。）

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6. 点と直線の距離・垂線の足

問題 方程式 $ax+by+c=0$ で表される直線 $l$ に点 $P(x_0,y_0)$ から下した垂線の足 $Q(x',y')$ は

$$x'=x_0-\frac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}\,a,\qquad y'=y_0-\frac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}\,b$$

で与えられ、垂線 $PQ$ の長さ（$P$ から $l$ までの距離）は $\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ で与えられることを示せ。

解答 $l$ の法線ベクトルは $(a,b)$。垂線の足を $Q=P-t\,(a,b)$ とおき、$Q$ が $l$ 上にある条件から $t$ を定める。

$$a(x_0-ta)+b(y_0-tb)+c=0 \;\Longrightarrow\; t=\frac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}$$

これを $Q=(x_0-ta,\ y_0-tb)$ に代入して

$$x'=x_0-\frac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}\,a,\qquad y'=y_0-\frac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}\,b\qquad\blacksquare$$

垂線の長さは $|\overrightarrow{PQ}|=|t|\,|(a,b)|=|t|\sqrt{a^2+b^2}$ だから

$$PQ=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\qquad\blacksquare$$

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7. 垂線の足と長さの計算

問題 原点から次の各直線に下した垂線の足の座標、およびその垂線の長さを求めよ。また原点のかわりに点 $(2,-10)$ をとって、同じ問題を考えよ。 (a) $3x-2y=13$　(b) $4x+3y+18=0$

解答 問 6 の公式を用いる。$t=\dfrac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}$、足は $(x_0-ta,\ y_0-tb)$、長さは $|t|\sqrt{a^2+b^2}$。

(a) $3x-2y-13=0$（$a=3,\ b=-2,\ c=-13,\ a^2+b^2=13$）

• 原点 $(0,0)$：$ax_0+by_0+c=-13,\ t=-1$。足 $(3,-2)$、長さ $\sqrt{13}$。
• 点 $(2,-10)$：$ax_0+by_0+c=13,\ t=1$。足 $(-1,-8)$、長さ $\sqrt{13}$。

(b) $4x+3y+18=0$（$a=4,\ b=3,\ c=18,\ a^2+b^2=25$）

• 原点 $(0,0)$：$ax_0+by_0+c=18,\ t=\dfrac{18}{25}$。足 $\left(-\dfrac{72}{25},\ -\dfrac{54}{25}\right)$、長さ $\dfrac{18}{5}$。
• 点 $(2,-10)$：$ax_0+by_0+c=-4,\ t=-\dfrac{4}{25}$。足 $\left(\dfrac{66}{25},\ -\dfrac{238}{25}\right)$、長さ $\dfrac{4}{5}$。

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8. 標準形（ヘッセの標準形）

問題 前問の 2 つの直線をそれぞれ標準形で表せ。

解答 $ax+by+c=0$ を $\sqrt{a^2+b^2}$ で割り、右辺の $p$（原点からの距離）が $p\ge0$ となるよう符号を選ぶと、標準形 $x\cos\omega+y\sin\omega=p$ が得られる。

(a) $3x-2y-13=0$ を $\sqrt{13}$ で割って

$$\boxed{\ \frac{3}{\sqrt{13}}x-\frac{2}{\sqrt{13}}y=\sqrt{13}\ }\qquad(p=\sqrt{13})$$

(b) $4x+3y+18=0$ を $-5$ で割って（右辺を正にする）

$$\boxed{\ -\frac{4}{5}x-\frac{3}{5}y=\frac{18}{5}\ }\qquad\left(p=\frac{18}{5}\right)$$

いずれも $p$ が問 7 で求めた原点からの距離と一致する。