直線 の法線ベクトルは （ はスカラーの係数）、媒介変数表示 の方向ベクトルは である。
1. 平行・直交の必要十分条件
問題 媒介変数 によって と表される直線と、方程式 で表される直線とが平行（一致する場合も含む）であるための必要十分条件、直交するための必要十分条件を、それぞれ係数 によって表せ。
解答 前者の方向ベクトルは 、後者の法線ベクトルは 。
平行（一致を含む） 方向 が法線 に垂直:
直交 方向 が法線 に平行:
2. 2直線の交角の余弦
問題 2直線 の交角 の余弦の値を求めよ。
解答 法線ベクトルを とすると
交角の余弦は
3. ベクトル方程式 (1.17) と方程式 (1.23) の一致
問題 のとき、ベクトル方程式 (1.17) で表される直線と、方程式 (1.23) で表される直線とが一致することを、計算によって確かめよ。
解答 (1.17) の を (1.23) の左辺に代入すると
より だから、すべての で
となり、(1.17) 上の点はすべて (1.23) を満たす。
逆に、 なので 、よって (1.23) は原点を通る 1 本の直線を表す。(1.17) も原点を通り方向ベクトル の直線で、その方向は上の計算により (1.23) 上にある。原点を通る直線は 1 つの方向で定まるから、両者は同一の直線である。
よって と は同じ直線を表す。
核心は が のとき になること。幾何的には「2等分線の方向 が法線 と直交する」ことを表す。
4. の2等分線の方程式
問題 一般に の 2 等分線の方程式は
で与えられることを示せ。ただし は座標原点、 である。
解答 単位ベクトルを とする。点 が の 2 等分線上にあることは、 が と等しい角をなすこと、すなわち
と同値である。分母を払うと 、すなわち
（2 等分線の方向は であり、 より 。よって が法線になる。）
5. の2等分線の方程式
問題 のとき、 の 2 等分線の方程式を求めよ。
解答 頂点は 。問 4 を原点 に置き換えて用いる。
法線ベクトルは
これを法線とし を通る直線は
（検算: で 。）
6. 点と直線の距離・垂線の足
問題 方程式 で表される直線 に点 から下した垂線の足 は
で与えられ、垂線 の長さ（ から までの距離）は で与えられることを示せ。
解答 の法線ベクトルは 。垂線の足を とおき、 が 上にある条件から を定める。
これを に代入して
垂線の長さは だから
7. 垂線の足と長さの計算
問題 原点から次の各直線に下した垂線の足の座標、およびその垂線の長さを求めよ。また原点のかわりに点 をとって、同じ問題を考えよ。
(a) (b)
解答 問 6 の公式を用いる。、足は 、長さは 。
(a) （）
(b) （）
8. 標準形（ヘッセの標準形）
問題 前問の 2 つの直線をそれぞれ標準形で表せ。
解答 を で割り、右辺の （原点からの距離）が となるよう符号を選ぶと、標準形 が得られる。
(a) を で割って
(b) を で割って（右辺を正にする）
いずれも が問 7 で求めた原点からの距離と一致する。