数学

§4 演習問題 — ベクトルの内積

内積は a⋅b=∣a∣∣b∣cos⁡θ\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta、成分では (a1,a2)⋅(b1,b2)=a1b1+a2b2(a_1,a_2)\cdot(b_1,b_2)=a_1b_1+a_2b_2 を用いる。2 つのベクトルが直交することは内積が 00 になることと同値である。

1. ベクトルの直交条件

問題 a=(2,3), b=(1,−1)\boldsymbol{a}=(2,3),\ \boldsymbol{b}=(1,-1) とするとき、次の各組のベクトルが直交するように実数 tt の値をそれぞれ求めよ。 (a) a, a+tb\boldsymbol{a},\ \boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}　(b) a−b, a+tb\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b},\ \boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}　(c) a+tb, a−tb\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b},\ \boldsymbol{a}-t\boldsymbol{b}

解答 よく使う値を先に計算しておく。

a⋅a=13,a⋅b=2−3=−1,b⋅b=2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}=13,\qquad \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=2-3=-1,\qquad \boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{b}=2

(a) a⋅(a+tb)=a⋅a+t(a⋅b)=13−t=0\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b})=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}+t(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})=13-t=0 より

t=13\boxed{t=13}

(b) a−b=(1,4), a+tb=(2+t, 3−t)\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(1,4),\ \boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}=(2+t,\ 3-t) だから

(1)(2+t)+(4)(3−t)=14−3t=0  ⟹  t=143(1)(2+t)+(4)(3-t)=14-3t=0 \;\Longrightarrow\; \boxed{t=\frac{14}{3}}

(c) (a+tb)⋅(a−tb)=∣a∣2−t2∣b∣2=13−2t2=0(\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}-t\boldsymbol{b})=|\boldsymbol{a}|^2-t^2|\boldsymbol{b}|^2=13-2t^2=0 より t2=132t^2=\dfrac{13}{2}、

t=±262\boxed{t=\pm\frac{\sqrt{26}}{2}}

2. 中線定理と内積の等式

問題 a,b\boldsymbol{a},\boldsymbol{b} を 2 つのベクトルとするとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。 (a) ∣a+b∣2+∣a−b∣2=2(∣a∣2+∣b∣2)|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^2+|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|^2=2(|\boldsymbol{a}|^2+|\boldsymbol{b}|^2) (b) ∣a+b∣2−∣a−b∣2=4(a⋅b)|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^2-|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|^2=4(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})

解答 ∣a±b∣2=∣a∣2±2(a⋅b)+∣b∣2|\boldsymbol{a}\pm \boldsymbol{b}|^2=|\boldsymbol{a}|^2\pm 2(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})+|\boldsymbol{b}|^2 を用いる。

(a) 2 式を加えると内積の項が消えて

∣a+b∣2+∣a−b∣2=2∣a∣2+2∣b∣2=2(∣a∣2+∣b∣2)■|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^2+|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|^2=2|\boldsymbol{a}|^2+2|\boldsymbol{b}|^2=2(|\boldsymbol{a}|^2+|\boldsymbol{b}|^2)\qquad\blacksquare

(b) 2 式を引くと

∣a+b∣2−∣a−b∣2=4(a⋅b)■|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^2-|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|^2=4(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})\qquad\blacksquare

3. シュワルツの不等式

問題 ベクトル a,b\boldsymbol{a},\boldsymbol{b} に対して、シュワルツの不等式 ∣a⋅b∣≤∣a∣∣b∣|\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}|\le|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| を証明せよ。ここに左辺は内積 a⋅b\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} の絶対値を表す。

解答 b=0⃗\boldsymbol{b}=\vec{0} のときは両辺 00 で成立する。b≠0⃗\boldsymbol{b}\ne\vec{0} とする。任意の実数 tt に対して

∣a−tb∣2=∣a∣2−2t(a⋅b)+t2∣b∣2≥0|\boldsymbol{a}-t\boldsymbol{b}|^2=|\boldsymbol{a}|^2-2t(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})+t^2|\boldsymbol{b}|^2\ge 0

が成り立つ。これは tt についての 2 次式で、すべての tt で ≥0\ge 0 だから判別式は ≤0\le 0：

{−2(a⋅b)}2−4∣b∣2∣a∣2≤0  ⟹  (a⋅b)2≤∣a∣2∣b∣2\{-2(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})\}^2-4|\boldsymbol{b}|^2|\boldsymbol{a}|^2\le 0 \;\Longrightarrow\; (\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})^2\le|\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2

両辺の平方根をとって

∣a⋅b∣≤∣a∣∣b∣■|\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}|\le|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\qquad\blacksquare

4. 等号 a⋅b=∣a∣∣b∣\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| が成り立つ場合

問題 a⋅b=∣a∣∣b∣\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| が成り立つのはどのような場合か。

解答 a⋅b=∣a∣∣b∣cos⁡θ\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta なので、a⋅b=∣a∣∣b∣\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| は cos⁡θ=1\cos\theta=1、すなわち θ=0\theta=0 を意味する。したがって

  • a,b\boldsymbol{a},\boldsymbol{b} が同じ向きのとき（一方が他方の正のスカラー倍、b=ka (k>0)\boldsymbol{b}=k\boldsymbol{a}\ (k>0)）、
  • または a,b\boldsymbol{a},\boldsymbol{b} の少なくとも一方が 0⃗\vec{0} のとき

に成り立つ。（絶対値つきの等号 ∣a⋅b∣=∣a∣∣b∣|\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| は「平行（同じ向き・逆向きのいずれか）」で成り立つが、絶対値なしの場合は同じ向きに限られる。）

5. 正三角形と 3 等分点

問題 1 辺の長さが 11 である正三角形 OABOAB において、OA→=a, OB→=b\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a},\ \overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b} とし、辺 ABAB を 3 等分する点を M,NM,N とする。 (a) a⋅b\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} の値を求めよ。 (b) OM→, ON→\overrightarrow{OM},\ \overrightarrow{ON} を a,b\boldsymbol{a},\boldsymbol{b} で表して、OM→⋅ON→\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON} の値を求めよ。

解答

(a) ∣a∣=∣b∣=1|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=1、a,b\boldsymbol{a},\boldsymbol{b} のなす角は 60∘60^\circ だから

a⋅b=∣a∣∣b∣cos⁡60∘=1⋅1⋅12=12\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos 60^\circ=1\cdot 1\cdot\frac{1}{2}=\boxed{\frac{1}{2}}

(b) A→BA\to B の向きに A,M,N,BA,M,N,B と並ぶ。AA の位置ベクトルは a\boldsymbol{a}、BB は b\boldsymbol{b} だから

OM→=23a+13b,ON→=13a+23b\overrightarrow{OM}=\frac{2}{3}\boldsymbol{a}+\frac{1}{3}\boldsymbol{b},\qquad \overrightarrow{ON}=\frac{1}{3}\boldsymbol{a}+\frac{2}{3}\boldsymbol{b} OM→⋅ON→=29∣a∣2+59(a⋅b)+29∣b∣2=29+59⋅12+29=49+518=1318\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON} =\frac{2}{9}|\boldsymbol{a}|^2+\frac{5}{9}(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})+\frac{2}{9}|\boldsymbol{b}|^2 =\frac{2}{9}+\frac{5}{9}\cdot\frac{1}{2}+\frac{2}{9} =\frac{4}{9}+\frac{5}{18} =\boxed{\frac{13}{18}}

6. 直角三角形の垂線の足と内積

問題 直角三角形 OABOAB において、直角をはさむ 2 辺 OA,OBOA,OB の長さがそれぞれ 4,34,3 であるとする。OO から斜辺 ABAB に下した垂線の足を HH とするとき、内積 OA→⋅OH→\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OH} の値を求めよ。

解答 座標を O=(0,0), A=(4,0), B=(0,3)O=(0,0),\ A=(4,0),\ B=(0,3) にとる。HH は ABAB 上の点で OH→⊥AB→\overrightarrow{OH}\perp\overrightarrow{AB}。H=A+s(B−A)=(4−4s, 3s)H=A+s(B-A)=(4-4s,\ 3s)、AB→=(−4,3)\overrightarrow{AB}=(-4,3) として

OH→⋅AB→=(4−4s)(−4)+(3s)(3)=−16+25s=0  ⟹  s=1625\overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{AB}=(4-4s)(-4)+(3s)(3)=-16+25s=0 \;\Longrightarrow\; s=\frac{16}{25}

よって H=(3625, 4825)H=\left(\dfrac{36}{25},\ \dfrac{48}{25}\right) となり

OA→⋅OH→=(4,0)⋅(3625,4825)=14425\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OH}=(4,0)\cdot\left(\frac{36}{25},\frac{48}{25}\right)=\boxed{\frac{144}{25}}

7. 平行四辺形の面積（内積による表示）

問題 a,b\boldsymbol{a},\boldsymbol{b} を 0⃗\vec{0} でない 2 つのベクトルとし、a=OA→, b=OB→\boldsymbol{a}=\overrightarrow{OA},\ \boldsymbol{b}=\overrightarrow{OB} とする。OA,OBOA,OB を 2 辺とする平行四辺形の面積 SS は

S=∣a∣2∣b∣2−(a⋅b)2S=\sqrt{|\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2-(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})^2}

で与えられることを証明せよ。

解答 a,b\boldsymbol{a},\boldsymbol{b} のなす角を θ\theta とすると、平行四辺形の面積は S=∣a∣∣b∣sin⁡θS=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\sin\theta。したがって

S2=∣a∣2∣b∣2sin⁡2θ=∣a∣2∣b∣2(1−cos⁡2θ)=∣a∣2∣b∣2−(∣a∣∣b∣cos⁡θ)2=∣a∣2∣b∣2−(a⋅b)2S^2=|\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2\sin^2\theta=|\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2(1-\cos^2\theta) =|\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2-(|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta)^2 =|\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2-(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})^2

根号内はシュワルツの不等式より ≥0\ge 0 なので

S=∣a∣2∣b∣2−(a⋅b)2■S=\sqrt{|\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2-(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})^2}\qquad\blacksquare

8. 平行四辺形の面積（成分表示）

問題 a=(a1,a2), b=(b1,b2)\boldsymbol{a}=(a_1,a_2),\ \boldsymbol{b}=(b_1,b_2) とすれば、a,b\boldsymbol{a},\boldsymbol{b} を 2 辺とする平行四辺形の面積 SS は S=∣a1b2−a2b1∣S=|a_1b_2-a_2b_1| で与えられることを示せ。

解答 問 7 の式に成分を代入する。

∣a∣2∣b∣2−(a⋅b)2=(a12+a22)(b12+b22)−(a1b1+a2b2)2|\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2-(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})^2=({a_1}^2+{a_2}^2)({b_1}^2+{b_2}^2)-(a_1b_1+a_2b_2)^2

展開すると（ラグランジュの恒等式）

=a12b22−2a1b1a2b2+a22b12=(a1b2−a2b1)2={a_1}^2{b_2}^2-2a_1b_1a_2b_2+{a_2}^2{b_1}^2=(a_1b_2-a_2b_1)^2

したがって

S=(a1b2−a2b1)2=∣a1b2−a2b1∣■S=\sqrt{(a_1b_2-a_2b_1)^2}=|a_1b_2-a_2b_1|\qquad\blacksquare

9. 座標で与えられた三角形の面積

問題 3 頂点の座標が (2,1), (−1,3), (3,6)(2,1),\ (-1,3),\ (3,6) である三角形の面積を求めよ。

解答 頂点 P=(2,1)P=(2,1) を基点にとると

a=(−1,3)−(2,1)=(−3,2),b=(3,6)−(2,1)=(1,5)\boldsymbol{a}=(-1,3)-(2,1)=(-3,2),\qquad \boldsymbol{b}=(3,6)-(2,1)=(1,5)

三角形の面積は平行四辺形の半分だから、問 8 より

S=12 ∣a1b2−a2b1∣=12 ∣(−3)(5)−(2)(1)∣=12⋅17=172S=\frac{1}{2}\,|a_1b_2-a_2b_1|=\frac{1}{2}\,|(-3)(5)-(2)(1)|=\frac{1}{2}\cdot 17=\boxed{\frac{17}{2}}
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