§3 演習問題 — 中点・分点と三角不等式

各点の位置ベクトルを $A, B, C, \dots$ と書き、$\overrightarrow{PQ}=Q-P$ を用いる。

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1. 中点と等式の証明

三角形 $ABC$ の辺 $BC, CA, AB$ の中点をそれぞれ $L, M, N$ とすると

$$L=\frac{B+C}{2},\quad M=\frac{C+A}{2},\quad N=\frac{A+B}{2}$$

(a) $\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{LA}$

$$\overrightarrow{BN}=N-B=\frac{A-B}{2},\qquad \overrightarrow{CM}=M-C=\frac{A-C}{2}$$ $$\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CM} =\frac{2A-B-C}{2} =A-\frac{B+C}{2} =A-L=\overrightarrow{LA}\qquad\blacksquare$$

(b) $\overrightarrow{BL}+\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{AN}=\vec{0}$

$\overrightarrow{BL},\ \overrightarrow{CM},\ \overrightarrow{AN}$ はそれぞれ辺 $BC,\ CA,\ AB$ の半分。継ぎ足すと出発点に戻る（＝一周 $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\vec{0}$ の半分）ので和は $\vec{0}$。

$$\overrightarrow{BL}=\frac{C-B}{2},\quad \overrightarrow{CM}=\frac{A-C}{2},\quad \overrightarrow{AN}=\frac{B-A}{2}$$ $$\overrightarrow{BL}+\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{AN} =\frac{(C-B)+(A-C)+(B-A)}{2} =\vec{0}\qquad\blacksquare$$

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2. $\overrightarrow{AL},\ \overrightarrow{BM},\ \overrightarrow{CN}$ を $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ で表す

原点を $A$ にとり $\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a},\ \overrightarrow{AC}=\boldsymbol{b}$ とする。このとき $B=\boldsymbol{a},\ C=\boldsymbol{b}$ であり

$$L=\frac{\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}}{2},\quad M=\frac{\boldsymbol{b}}{2},\quad N=\frac{\boldsymbol{a}}{2}$$ $$\overrightarrow{AL}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$$ $$\overrightarrow{BM}=M-B=\frac{\boldsymbol{b}}{2}-\boldsymbol{a}=-\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}$$ $$\overrightarrow{CN}=N-C=\frac{\boldsymbol{a}}{2}-\boldsymbol{b}=\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$$

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3. 平行四辺形 $ABCD$

対角線について

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{a},\qquad \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{b}$$

$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{x},\ \overrightarrow{AD}=\boldsymbol{y}$ とおくと

$$\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=\boldsymbol{a},\qquad \boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$$

辺々を足し引きして

$$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}),\qquad \overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})$$

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4. 三角不等式

$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|\le|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$（第 11 図(b)）

第 11 図(b) のように点 $A, B, C$ をとり

$$\boldsymbol{a}=\overrightarrow{AB},\qquad \boldsymbol{b}=\overrightarrow{BC},\qquad \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\overrightarrow{AC}$$

とする。三角形 $ABC$ では 1 辺の長さは他の 2 辺の長さの和を超えないから

$$|\overrightarrow{AC}|\le|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{BC}| \;\Longrightarrow\; |\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|\le|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$$

等号が成り立つのは $A, B, C$ が一直線上に並ぶとき、すなわち $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ が同じ向きのときである。

$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|\le|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$（第 12 図）

第 12 図のように点 $O, A, B$ をとり

$$\boldsymbol{a}=\overrightarrow{OA},\qquad \boldsymbol{b}=\overrightarrow{OB}$$

とすると

$$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$$

三角形 $OAB$ では辺 $BA$ の長さは他の 2 辺の長さの和を超えないから

$$|\overrightarrow{BA}|\le|\overrightarrow{OA}|+|\overrightarrow{OB}| \;\Longrightarrow\; |\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|\le|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|\qquad\blacksquare$$

等号が成り立つのは $O, A, B$ が一直線上に並ぶとき、すなわち $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ が反対向きのときである。

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5. 辺 $BC$ の 3 等分点 $D, E$

$B\to C$ の向きに $B, D, E, C$ と並ぶ。原点を $A$ にとると

$$D=\frac{2}{3}B+\frac{1}{3}C,\qquad E=\frac{1}{3}B+\frac{2}{3}C$$ $$\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC},\qquad \overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$$

和をとると

$$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\qquad\blacksquare$$

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6. 四辺形 $ABCD$ の辺 $AD, BC$ の中点 $M, N$

$$M=\frac{A+D}{2},\qquad N=\frac{B+C}{2}$$ $$\overrightarrow{MN}=N-M =\frac{(B-A)+(C-D)}{2} =\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right)$$

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7. 3 等分点 $M_1, M_2$（辺 $AD$）、$N_1, N_2$（辺 $BC$）

$$M_1=\frac{2}{3}A+\frac{1}{3}D,\quad M_2=\frac{1}{3}A+\frac{2}{3}D$$ $$N_1=\frac{2}{3}B+\frac{1}{3}C,\quad N_2=\frac{1}{3}B+\frac{2}{3}C$$

したがって

$$\overrightarrow{M_1N_1}=N_1-M_1 =\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{DC}$$ $$\overrightarrow{M_2N_2}=N_2-M_2 =\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{DC}$$

和をとると

$$\overrightarrow{M_1N_1}+\overrightarrow{M_2N_2} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\qquad\blacksquare$$

第 6 問の $\overrightarrow{MN}=\tfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})$ とも整合する。