各点の位置ベクトルを と書き、 を用いる。
1. 中点と等式の証明
問題 三角形 の辺 の中点をそれぞれ とするとき、次の等式を証明せよ。
(a)
(b)
解答 中点の位置ベクトルは
L, M, N は辺 BC, CA, AB の中点（黄色は中点三角形 LMN）
(a)
(b)
はそれぞれ辺 の半分。継ぎ足すと出発点に戻る（＝一周 の半分）ので和は 。
3 本を継ぎ足すと閉じる ＝ 和は 0
2. を で表す
問題 前問で として、 を で表せ。
解答 原点を にとると であり
3. 平行四辺形
問題 平行四辺形 において、 として、 を で表せ。
解答 対角線について
とおくと
辺々を足し引きして
4. 三角不等式
問題 第 11 図(b)、第 12 図を用いて、、 を証明せよ。
解答
（第 11 図(b)）
第 11 図(b) a=AB, b=BC, a+b=AC
第 11 図(b) のように点 をとり
とする。三角形 では 1 辺の長さは他の 2 辺の長さの和を超えないから
等号が成り立つのは が一直線上に並ぶとき、すなわち が同じ向きのときである。
（第 12 図）
第 12 図 a=OA, b=OB, a−b=BA
第 12 図のように点 をとり
とすると
三角形 では辺 の長さは他の 2 辺の長さの和を超えないから
等号が成り立つのは が一直線上に並ぶとき、すなわち が反対向きのときである。
5. 辺 の 3 等分点
問題 三角形 の辺 を 3 等分する点を とするとき、 をそれぞれ で表せ。また であることを証明せよ。
解答 の向きに と並ぶ。原点を にとると
和をとると
6. 四辺形 の辺 の中点
問題 四辺形 の辺 の中点をそれぞれ とするとき、 を で表せ。
解答
7. 3 等分点 （辺 ）、（辺 ）
問題 前問で辺 を 3 等分する点を 、辺 を 3 等分する点を とすれば、 であることを証明せよ。
解答
したがって
和をとると
第 6 問の とも整合する。