線形代数 - 部分空間と基底

問題

次の集合が の部分空間であることを示し，その一つの基底を求めよ。

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① 部分空間であることの確認

部分空間であるためには，以下の3つを満たせばよい：

1. 零ベクトルを含む

は より に属する。

2. 加法で閉じている

ならば

よって

したがって和も に属する

3. スカラー倍で閉じている

について

より に属する

👉 よって は部分空間である

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② 基底を求める

条件

より

したがって任意のベクトルは

これを分解すると：

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③ 基底

よって

は を張る

さらにこの2つは一次独立なので，

👉 基底の一つは

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④ 次元

基底の本数は2本なので，

👉 次元は