線形代数 - 部分空間と基底

問題

次の集合が R3\mathbb{R}^3 の部分空間であることを示し，その一つの基底を求めよ。

V={(x1,x2,x3)∈R3∣x1+x2+x3=0}V=\{(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb{R}^3 \mid x_1+x_2+x_3=0\}

① 部分空間であることの確認

部分空間であるためには，以下の3つを満たせばよい：

1. 零ベクトルを含む

(0,0,0)は0+0+0=0よりVに属する(0,0,0) は 0+0+0=0 より V に属する

2. 加法で閉じている

(x1,x2,x3),(y1,y2,y3)∈V(x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)\in V

ならば

x1+x2+x3=0,y1+y2+y3=0x_1+x_2+x_3=0,\quad y_1+y_2+y_3=0

よって

(x1+y1)+(x2+y2)+(x3+y3)=0(x_1+y_1)+(x_2+y_2)+(x_3+y_3)=0

したがって和も VV に属する

3. スカラー倍で閉じている

c(x1,x2,x3)=(cx1,cx2,cx3)c(x_1,x_2,x_3)=(cx_1,cx_2,cx_3)

について

cx1+cx2+cx3=c(x1+x2+x3)=0cx_1+cx_2+cx_3=c(x_1+x_2+x_3)=0

より VV に属する

👉 よって VV は部分空間である

② 基底を求める

条件

x1+x2+x3=0x_1+x_2+x_3=0

より

x3=−x1−x2x_3=-x_1-x_2

したがって任意のベクトルは

(x1,x2,x3)=(x1,x2,−x1−x2)(x_1,x_2,x_3)=(x_1,x_2,-x_1-x_2)

これを分解すると：

(x1,x2,−x1−x2)=x1(1,0,−1)+x2(0,1,−1)(x_1,x_2,-x_1-x_2) = x_1(1,0,-1) + x_2(0,1,-1)

③ 基底

よって

{(1,0,−1),(0,1,−1)}\{(1,0,-1), (0,1,-1)\}

は VV を張る

さらにこの2つは一次独立なので，

👉 基底の一つは

{(1,0,−1),(0,1,−1)}\boxed{\{(1,0,-1), (0,1,-1)\}}

④ 次元

基底の本数は2本なので，

👉 次元は

2\boxed{2}